حل کاردرکلاس و تمرین صفحه 139 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۹ - فعالیت علی در این تمرین، باید دقت کنیم که شعاع قطاع دایره‌ای که مخروط با آن ساخته شده، در واقع **یال (مولد)** مخروط است. **گام اول: استخراج داده‌ها** * یال مخروط ($L$) = ۱۰ سانتی‌متر * قطر قاعده مخروط = ۱۲ سانتی‌متر $\Rightarrow$ شعاع قاعده ($r$) = ۶ سانتی‌متر **گام دوم: یافتن ارتفاع مخروط ($h$)** در مخروط، ارتفاع بر شعاع قاعده عمود است و یک مثلث قائم‌الزاویه با یال می‌سازد. طبق قضیه فیثاغورس: $$h^2 + r^2 = L^2 \Rightarrow h^2 + 6^2 = 10^2$$ $$h^2 + 36 = 100 \Rightarrow h^2 = 64 \Rightarrow h = 8 \text{ cm}$$ **گام سوم: محاسبه حجم مخروط ($V$)** فرمول: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ $$V = \frac{1}{3} \pi \times (6)^2 \times 8 = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8$$ با ساده کردن ۳۶ و ۳: $$V = 12 \pi \times 8 = 96\pi \text{ cm}^3$$ **پاسخ نهایی:** حجم مخروط ساخته شده **$96\pi$** سانتی‌متر مکعب است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۱ سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! برای محاسبهٔ حجم هرم، باید از فرمول کلی آن استفاده کنیم. **گام اول: محاسبه مساحت قاعده ($S$)** قاعدهٔ این هرم یک مستطیل است. مساحت مستطیل برابر است با حاصل‌ضرب طول در عرض: $$S = 6 \times 5 = 30 \text{ cm}^2$$ **گام دوم: محاسبه حجم هرم ($V$)** فرمول حجم هرم عبارت است از یک‌سومِ مساحت قاعده ضرب در ارتفاع: $$V = \frac{1}{3} S h$$ با جایگذاری مقادیر ($S=30$ و $h=10$) داریم: $$V = \frac{1}{3} \times 30 \times 10$$ ابتدا عدد ۳۰ را بر ۳ ساده می‌کنیم که می‌شود ۱۰. سپس: $$V = 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^3$$ **پاسخ نهایی:** حجم این هرم برابر با **۱۰۰ سانتی‌متر مکعب** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۲ در این مسئله، ما مساحت قاعده را داریم اما **ارتفاع هرم ($h$)** داده نشده است. پس باید ابتدا آن را به کمک قضیه فیثاغورس پیدا کنیم. **گام اول: محاسبه مساحت قاعده ($S$)** چون قاعده مربع است: $$S = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2$$ **گام دوم: یافتن ارتفاع هرم ($h$)** ۱. ابتدا ارتفاع وجه جانبی (سهم هرم یا $a$) را در مثلث متساوی‌الساقین جانبی پیدا می‌کنیم. در مثلثی با ساق ۸ و قاعده ۴، نصف قاعده برابر ۲ است: $$a^2 + 2^2 = 8^2 \Rightarrow a^2 = 64 - 4 = 60 \Rightarrow a = \sqrt{60}$$ ۲. حالا در مثلث قائم‌الزاویه‌ای که شامل ارتفاع هرم ($h$)، نصف ضلع قاعده (۲) و سهم هرم ($\sqrt{60}$) است، فیثاغورس می‌زنیم: $$h^2 + 2^2 = (\sqrt{60})^2 \Rightarrow h^2 + 4 = 60 \Rightarrow h^2 = 56 \Rightarrow h = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \text{ cm}$$ **گام سوم: محاسبه حجم ($V$)** $$V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{14} = \frac{32\sqrt{14}}{3} \text{ cm}^3$$ **پاسخ نهایی:** حجم هرم تقریباً برابر با **$\frac{32\sqrt{14}}{3}$** سانتی‌متر مکعب است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۹ - تمرین ۳ نکتهٔ کلیدی این مسئله این است که **حجم آب** ثابت می‌ماند. یعنی حجم مخروط برابر با حجم قسمتی از استوانه است که آب اشغال می‌کند. **گام اول: محاسبه حجم آب در مخروط ($V_{\text{cone}}$)** فرمول حجم مخروط: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ $$V = \frac{1}{3} \pi \times (4)^2 \times 12 = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times 12$$ با ساده کردن ۱۲ و ۳ داریم: $$V = 4 \pi \times 16 = 64\pi \text{ cm}^3$$ **گام دوم: محاسبه ارتفاع آب در استوانه ($x$)** فرمول حجم استوانه: $V = \pi r^2 x$ است. شعاع استوانه ۶ است: $$64\pi = \pi \times (6)^2 \times x$$ $$\pi$$ از دو طرف ساده می‌شود: $$64 = 36x \Rightarrow x = \frac{64}{36}$$ با ساده کردن به عدد ۴: $$x = \frac{16}{9} \approx 1.77 \text{ cm}$$ **پاسخ نهایی:** آب در لیوان تا ارتفاع **$\frac{16}{9}$** سانتی‌متر بالا می‌آید.